अंतरांचे मोजमाप

खेळताना अनेक वेळा तुम्ही अंतर मोजले असेल किंवा इतरांना अंतरे मोजताना पाहिले असेल. अशा अनुभवांच्या आधारे खालील गोष्टींची वर्गात चर्चा करा.
कबड्डीच्या मैदानाच्या दोन टोकांतील अंतर तुम्ही कसे मोजता?
विटीदांडू खेळताना, विटी आणि गली यांच्यातले अंतर तुम्ही कसे मोजता?
विहीर किती खोल आहे हे कसे मोजतात?
तुमची उंची तुम्ही कशी मोजता?
कापड विकणारा दुकानदार कापड कसे मोजतो?
तलाठी शेताची लांबी व रुंदी कशी मोजतो?
तुमचे गांव आणि शेजारचे गांव यांच्यामधील अंतर तुम्ही कसे मोजाल?
सर्वांत उंच कोण आहे?

प्रयोग क्र. 1

दोन विद्यार्थ्यांना शेजारी शेजारी उभे केले तर त्यांच्या उंचीतील फरक पाहता येतो.

तुमच्या वर्गात सर्वांत उंच कोण आहे? (1)

कोणाच्या वर्गाची लांबी जास्त आहे?

सलीम आणि रमेश एकाच शाळेत दोन वेगवेगळ्या वर्गात शिकतात. कोणाच्या वर्गाची लांबी जास्त आहे याबद्दल त्यांच्यात एकदा वाद झाला.

वर्गातील विद्यार्थ्यांच्या उंचीतील फरक पाहताना त्यांना जसे शेजारी शेजारी उभे केले होते तसे रमेश आणि सलीम आपापले वर्ग एकमेकांच्या शेजारी आणून त्यांच्या लांबीमधील फरक मोजू शकतील का? (2)

वाद मिटवण्यासाठी त्या दोघांनी ठरवले कि रमेश स्वत:च्या वर्गाच्या एका टोकापासून दुसऱ्या टोकापर्यंत नेहमीच्या चालीने पावले टाकत चालेल आणि त्यानंतर सलीमच्या वर्गात तशीच पावले टाकत चालेल. त्यावरून दोघांच्या वर्गांच्या लांब्यांची तुलना करून कोणाच्या वर्गाची लांबी जास्त आहे ते पाहता येईल.

ठरल्याप्रमाणे रमेश दोन्ही वर्गात चालला आणि त्यांना खालील मापे मिळाली.

कोणाच्या वर्गाची लांबी जास्त आहे? दोघा मित्रांनी त्यांच्या वर्गाच्या लांब्यांची तुलना कशी केली? (3)

जेव्हा दोन वस्तू शेजारी शेजारी ठेवता येत नाहीत तेव्हा त्यांच्या लांब्यांची तुलना करण्यासाठी आपण तिसऱ्या वस्तूचा वापर करतो. त्या तिसऱ्या वस्तूच्या लांबीशी तुलना करून आपण त्या दोन वस्तूंपैकी कुणाची लांबी कमी किंवा जास्त आहे ते ठरवतो.
ह्या प्रयोगात आपण रमेशने चाललेल्या पावलांच्या साहाय्याने त्या दोन लांब्यांची तुलना केली. लांब्यांची तुलना करण्यासाठी रमेशच्या पावलांऐवजी इतर अनेक वस्तूंचा वापर सलीम आणि रमेशला करता आला असता. उदाहरणार्थ, एखाद्याची वीत, एखाद्याचा हात, एखादा दोरीचा तुकडा, एखादा लाकडी दांडू, किंवा फूटपट्टी, इत्यादी.

उंच म्हणजे किती उंच?

सुषमा तिच्या वर्गातील सर्वात उंच मुलगी आहे. ती नेहमी बढाई मारते की ती दहा वीत उंच आहे. एक दिवस तिच्या वर्गातील इतर विद्यार्थ्यांनी ठरवले की ती ज्या बढाया मारते त्या किती खऱ्या आहेत ते तपासून पाहायचे.
त्यांनी सुषमाला भिंतीला पाठ टेकवून उभे केले. त्यानंतर माधुरीने तिच्या डोक्यापाशी भिंतीवर एक खूण केली. नंतर जमिनीपासून भिंतीवरच्या खुणेपर्यंतचे अंतर त्यांनी वीत व बोटे यांच्या साहाय्याने (आधी पूर्ण विती व उरलेले अंतर बोटांनी) मोजले.

त्यांची मापे तक्ता क्र. 1 मध्ये दिली आहेत.

सर्व मापे सारखी आहेत का? (4)
सर्व मापे सारखी का नाहीत? (5)
सुषमा खरंच 10 वीत उंच आहे का? (6)
तुमची वीत आणि तुमच्या मित्राची वीत सारखी आहे का? (7)
जर सर्वांनी स्वत:च्या विती व बोटे यांचा वापर करून लांबी मोजायला सुरवात केली तर कोणकोणते प्रश्न निर्माण होतील? (8)

वेगवेगळ्या लोकांचे हात किंवा वीत, पावलाची लांबी किंवा एका पावलात चाललेले अंतर या गोष्टी सारख्या नसतात. व्यक्तीनुसार त्या बदलतात. त्यांच्या मदतीने आपण अंतराचा अंदाज जरी बांधू शकलो तरी अंतर अचूकपणे मोजू शकत नाही.
अचूक मोजमापासाठी मोजपट्टी (scale) आवश्यक असते. मोजपट्टी म्हणजे काय आणि लोक मोजमापासाठी मोजपट्ट्या केव्हापासून वापरू लागले याबद्दल तुम्ही कधी विचार केला आहे का? याबाबत पूर्वी काय घडले असेल याची आपण कल्पना करून पाहूया.

मोजपट्टीची कहाणी

काही शतकांपूर्वी लोक वितींनी, हातांनी, चाललेल्या पावलांनी अंतर मोजत असत. एक दिवस एक खूप उंच माणूस सदरा शिवण्यासाठी कापड खरेदी करायला दुकानात गेला. त्यांनी दोन पासरी गव्हाच्या बदल्यात साडे तीन हात कापड मागितले. दुकानदाराने तीन हात कापड मोजून अंदाजे आणखी अर्धा हात कापड मोजले. दुकानदाराने आपल्याला फसवले असे त्या उंच माणसाला वाटले. त्याने स्वत:च्या हाताने ते कापड मोजले तर ते त्याच्या तीन हाताच्या लांबी एवढेही नव्हते. भर बाजारात त्या दोघांमध्ये गरमागरमी झाली. कापड मोजण्यासाठी कोणाच्या हाताचा उपयोग करायचा? अर्ध्या किंवा पाव हाताची लांबी कशी ठरवायची?
त्या काळी असं नेहमीच होत असावं. शेताची, दोरीची, कापडाची किंवा अशा शेकडो वस्तूंची लांबी मोजण्यावरून लोकांमध्ये वादविवाद होत असावेत.
शेवटी, काही शहाण्या लोकांनी एकत्र येऊन ठरवलं असावं की निरनिराळ्या वस्तूंची लांबी मोजण्यासाठी एकच ठराविक मापाची मोजपट्टी असावी. या मोजपट्टीवर त्या मापाच्या खुणा केलेल्या असाव्यात आणि त्याचे त्याहून लहान समान भागही केलेले असावेत. लांबीच्या मापनासाठी आता सर्वजण ह्या मोजपट्टीचा उपयोग करतील असे त्यांनी ठरवले असावे. त्यानुसार लाकूड किंवा धातू यांच्या लांबीच्या समान मापाच्या मोजपट्ट्या त्यांनी तयार केल्या असाव्यात.

त्यांनी मोजपट्ट्या धातूच्या किंवा लाकडाच्याच का बनवल्या असतील? त्यासाठी कापड किंवा रबर का वापरले नसेल? आपापसात चर्चा करून उत्तर द्या. (9)

एका देशातील लोकांनी त्यांच्या राजाच्या नाकापासून ते मधल्या बोटाच्या टोकांपर्यंतचे अंतर हे एक माप म्हणून उपयोगात आणायचे असे ठरवले. ह्या अंतराला एक यार्ड असे नाव त्यांनी दिले. ह्या यार्डाचे त्यांनी तीन समान भाग केले व त्या भागाला फूट असे नांव दिले. त्यानंतर त्या फुटाचे त्यांनी बारा समान भाग केले व त्या भागाला इंच असे म्हटले. इंचाचे देखील त्यांनी छोटे छोटे समान भाग केले.
मोठी अंतरे मोजण्यासाठी त्यांनी 220 यार्ड म्हणजे एक फर्लाग, आणि 8 फर्लाग म्हणजे एक मैल अशी मापे ठरवली.
जगातल्या इतर देशांनी देखील आपापल्या मोजपट्ट्या व मोजमाप पद्धती निश्चित केल्या. असे केल्याने मोजण्याचे काम सुलभ झाले. पण प्रत्येक देशाची मोजपट्टी आणि मोजमाप पद्धती इतर देशांपेक्षा वेगळी होती. त्यामुळे देशादेशांमधील व्यापार व देवाणघेवाणीच्या व्यवहारात अनेक प्रश्न निर्माण झाले. युद्धे, वाद होण्याची शक्यता निर्माण झाली.
अखेरीस, फ्रान्समध्ये दोन खुणा असलेला एका विशिष्ट धातूचा दंडगोल एका वस्तुसंग्राहालयात ठेवला गेला व त्या खुणांमधील अंतराला एक मीटर म्हणायचे असे ठरले. मीटरचे 100 समान भाग पाडले गेले व त्याला सेंटीमीटर असे नाव दिले गेले. प्रत्येक सेंटीमीटरचे 10 समान भाग पाडले गेले व त्याला मिलीमीटर असे म्हटले गेले.
आजही अंतरे मोजण्यासाठी वेगवेगळ्या मोजपट्ट्या व एकके वापरली जातात पण अंतर मोजण्यासाठी आंतरराष्ट्रीय पातळीवर मीटर हे प्रमाणित एकक म्हणून सुनिश्चित केले गेले आहे.

साहित्य संचातील तुम्हाला दिलेली मोजपट्टी

साहित्य संचातील मोजपट्टीचे नीट निरीक्षण करा. त्या मोजपट्टीवर ज्या खुणा केलेल्या आहेत त्यांच्या साहाय्याने अंतर मोजता येते.
त्या मोजपट्टीवरचे आकडे हे सेंटीमीटरचे (सेंमी) आकडे दर्शवतात. प्रत्येक सेंटीमीटरचे 10 समान भाग केलेले आहेत. तो प्रत्येक भाग म्हणजे एक मिलीमीटर (मिमी).

स्वत:ची मोजपट्टी तयार करा

प्रयोग क्र. 2

साहित्य संचातील आलेखाचा कागद गडद रेषेपाशी कापून एक लांब पट्टी कापा. (आकृती क्र. 1)

ह्या पट्टीच्या प्रत्येक मोठ्या चौरसाच्या बाजूची लांबी किती आहे? (10)

असे 15 चौरस मोजा व त्यावर 0 ते 15 आकडे क्रमाने लिहा. तुमच्या वहीवर वरच्या भागात ही पट्टी चिकटवा. तुमची मोजपट्टी तयार झाली! तुम्ही आता ती वापरू शकता.

प्रत्येक मोठ्या चौरसात किती छोटे भाग आहेत? (11)
ह्या मोजपट्टीने वरखाली जाणार्‍या, नागमोडी किंवा वक्र रेषांची लांबी मोजता येईल का? (12)

मेंदूचा व्यायाम

आकृती क्र. 2 मध्ये दाखवलेली 15 सेंमी लांबीची मोजपट्टी नीट लक्षपूर्वक पाहा.

मोजपट्टीच्या प्रत्येक सेंटीमीटरमध्ये किती भाग आहेत? (13)
प्रत्येक छोट्या भागाला काय म्हणतात? (14)
मोजपट्टीतील प्रत्येक छोट्या चौकानात किती मिलीमीटर आहेत? (15)
मोजपट्टीने छोट्यातील छोटे किती अंतर तुम्ही मोजू शकता? (16)

जे सगळ्यात लहान अंतर मोजपट्टीने मोजले जाते त्याला त्या मोजपट्टीचा लघुतमांक (least count) असे म्हटले जाते. कोणतेही मोजमाप करण्याअगोदर मोजपट्टीचा लघुतमांक काय आहे ते पाहून घ्या.

मीटरची लांबी किती?

तुमच्या साहित्य संचातील एक मीटर मोजपट्टीचे लक्षपूर्वक निरीक्षण करा.

एका मीटरमध्ये किती सेंटीमीटर आहेत? (17)
एका मीटरमध्ये किती मिलीमीटर आहेत? (18)
तुम्ही एका मीटरपेक्षा जास्त उंच आहात का? (19)

किलोमीटर म्हणजे किती अंतर?

`किलो' म्हणजे एक हजार. म्हणून एक किलोग्रॅम म्हणजे 1,000 ग्रॅम.
त्याच प्रमाणे एक किलोमीटर (किमी) म्हणजे 1,000 मीटर.

विचार करा व उत्तरे द्या

रिकाम्या जागा भरा. (20)

1 सेंमी =    मिमी        1 मिमी =    सेंमी
1 मी =     सेंमी        1 सेंमी =    मी
1 मी =     मिमी        1 मिमी =    मी
1 किमी =    मी        1 मी =     किमी

मोजपट्टी कशी वापरावी

सरळ रेषेत असलेल्या वस्तूची लांबी मोजण्यासाठी मोजपट्टी त्या वस्तूला समांतर ठेवा. नंतर त्या वस्तूच्या दोन टोकांमधील अंतर किती मिमी आहे ते मोजा.

आकृती क्र. 3 मधील टाचणीच्या टोकांमध्ये किती मिमी आहेत ते मोजा आणि टाचणीची लांबी मिमी मध्ये सांगा. (21)

अशाच पध्दतीने एखाद्या वस्तूच्या दोन टोकातील अंतर तुम्ही प्रथम सेंमी मध्ये व उरलेले मिमी मध्ये मोजू शकता.

आकृती क्र. 3 मध्ये दाखवलेल्या टाचणीची लांबी सेंमी व मिमी आहे. (22)
टाचणीची लांबी सेंमी मध्ये लिहा. (23)

मोजमाप लिहिताना मोजमापाच्या आकड्याबरोबर वापरलेले एकक (unit) लिहायला विसरू नका. तुम्ही ते एकक लिहिले नाही तर तुमचे मोजमाप चुकले आहे असेच समजले जाईल. जर तुम्ही ते एकक लिहिले नाही तर तुम्ही जे अंतर मोजले आहे ते सेंमी, मिमी, किंवा मी मध्ये आहे हे कसे कळणार?
वस्तूची लांबी मोजताना दर वेळी सर्वात लहान भागांची मोजणी करण्याची गरज नाही. त्यासाठी एक सोपा मार्ग आहे.
आकृती क्र. 4 मध्ये पेन्सिलीचे एक टोक 4 सेंमी वर आहे. तर त्या पेन्सिलचे दुसरे टोक 9.8 सेंमी वर आहे. ह्याचा अर्थ पेन्सिलीची लांबी ही (9.8 - 4) सेंमी = 5.8 सेंमी आहे. पेन्सिलीच्या एका टोकापासून ते दुसऱ्या टोकापर्यंतचे मोजपट्टीवरचे छोटे मिमीचे भाग मोजून हे उत्तर बरोबर आहे की नाही ते तुम्ही पडताळून पाहू शकता.

मोजपट्टीवरील मोजमापाच्या खुणा एका टोकापासून थोड्या अंतरावर सुरू होतात आणि दुसर्‍या टोकाच्या थोड्या आधी संपतात. म्हणून अंतर मोजताना `0’ या खुणेपासून अंतर मोजा, पट्टीच्या टोकापासून नको.
तुमची मोजपट्टी तुटली असेल किंवा तिच्यावरची `0’ ची खूण झिजली असेल तरीही तुम्ही तिचा उपयोग करू शकता. त्यासाठी पेन्सिलीची लांबी मोजताना दोन टोकांना असणार्‍या खुणांची वजाबाकी करून लांबी काढण्याची पद्धत तुम्हाला वापरावी लागेल.

एक क्रिया

आकृती क्र. 4 मधील काड्यापेटीच्या काडीची लांबी किती आहे? (24)
आकृती क्र. 5 मधील रीफिलची लांबी मोजा व तिची नोंद तुमच्या वहीत करा. (25)

चूक शोधा

आकृती 6 मध्ये दाखवलेल्या पानाची लांबी श्याम व शफीकने मोजली.
श्यामने पानाची लांबी 6 सेंमी लिहीली.
शफीकने पानाची लांबी 5 सेंमी लिहिली.

श्यामने पानाची लांबी मोजताना काय चूक केली? (26)
शफीकने पानाची लांबी मोजताना काय चूक केली? (27)
पानाची खरी लांबी किती आहे? (28)

कल्लूने आकृती क्र. 7 मधील ब्लेडची लांबी 4.2 सेंमी मोजली आणि खिळ्याची 3.2 सेंमी.

त्याने लांबी मोजताना कोणत्या चुका केल्या? (29)

एका पेन्सिलची लांबी आकृती क्र. 8 मध्ये दाखवल्याप्रमाणे दोन मोजपट्ट्यांनी मोजली, मोजपट्टी A व मोजपट्टी B.

मोजपट्टी A प्रमाणे पेन्सिलची लांबी किती आली? (30)
मोजपट्टी B प्रमाणे पेन्सिलची लांबी किती आली? (31)

कोणत्याही वस्तूची लांबी अचूक मोजायची असेल तर मोजपट्टी त्या वस्तूच्या लांबीला समात्तर ठेवायला हवी असे आकृती क्र. 8 सांगते. तिथे मोजपट्टी B ज्याप्रमाणे तिरकी ठेवली गेली तशी ठेवली तर तुमचे मोजमाप चुकेल.
आकृती क्र. 9 मध्ये दाखवल्याप्रमाणे पेन्सिल एका मोजपट्टीच्या बाजूला ठेवली आहे. आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे A, B आणि C ह्या तीन वेगवेगळ्या स्थानावरून पेन्सिलीचे टोक मोजपट्टीवर कुठे आहे ते पाहिले तर त्यानुसार तीन वेगवेगळी उत्तरे येतील.

पेन्सिलीचे टोक कुठून सुरू होते ते मोजपट्टीवर पाहण्यासाठी A, B आणि C ह्या तीन स्थानांतील कोणते स्थान बरोबर आहे? (32)

अचूक मोजमापासाठी मोजपट्टीचे स्थान, मोजल्या जाणार्‍या वस्तूचे स्थान, आणि माप घेणाऱ्याचे स्थान व नजर ह्या सर्व गोष्टी महत्वाच्या आहेत हे तुमच्या लक्षात आले असेल.
आता आपण अंतरे मोजण्याचा सराव करूया.

प्रयोग क्र. 3

तुमच्या वहीची लांबी किती असेल ह्याचा अंदाज करा. खाली दिलेला तक्ता क्र. 2 तुमच्या वहीत उतरवून घ्या आणि तक्त्यात आपल्या अंदाजांची नोंद करा. (33)

आता मोजपट्टीने वहीची लांबी मोजा व वहीत नोंद करा. तुम्ही केलेला अंदाज किती अचूक होता?

तुमचा पुढचा अंदाज कदाचित वहीच्या प्रत्यक्ष लांबीच्या जास्त जवळचा असेल.

आता वहीची रुंदी किती आहे ह्याचा अंदाज करा व वहीत नोंद करा. (34)

मोजपट्टीने रुंदी मोजा व वहीत नोंद करा.

ह्या वेळी तुम्ही केलेला अंदाज प्रत्यक्ष मोजमापाशी जास्त जुळत होता का? (35)

अंदाज आणखी अचूक होण्यासाठी आणखी एक प्रयत्न करूया.
आता वहीच्या जाडीचा अंदाज करा व वहीत नोंद करा.
मोजपट्टीच्या साहाय्याने वहीची जाडी मोजा.

अनेक वेळा मोजण्याचा अंदाज केल्यामुळे तुमचा अंदाज सुधारत गेला का? (36)

गृहपाठ

नेहमीच काही मोजपट्टी सहजपणे हाताशी उपलब्ध असते असे नाही. त्यामुळे अनेकदा वस्तूंची लांबी किंवा रुंदी किती असेल याचा अंदाज करण्याची वेळ येते. म्हणूनच अंदाज करण्याची आपली क्षमता वाढवणे गरजेचे आहे. निरनिराळ्या वस्तू निवडा. त्यांची लांबी, रुंदी वा उंची किती असेल किंवा ती किती अंतरावर असेल अशा गोष्टींचा अंदाज घ्या व नंतर प्रत्यक्ष मोजपट्टीच्या साहाय्याने मोजा.
तक्ता क्र. 2 मध्ये तुम्ही कुठल्या गोष्टींचा अंदाज केला, तुमचा अंदाज काय होता व प्रत्यक्ष मोजमाप काय आले या तीनही गोष्टींची नोंद ठेवा.

प्रयोग क्र. 4

नेहमीच्या चालीने दहा पावले चाला व मोजपट्टीने तुम्ही चाललेले एकूण अंतर मोजा. त्यावरून एका पावलात तुम्ही चाललेले अंतर किती आहे हे काढा.

नेहमीच्या चालीने एका पावलात तुम्ही किती अंतर चालता? (37)

आता शाळेतून घरी पोचेपर्यंत तुम्ही किती पावले टाकली ते मोजा व त्याच्या साहाय्याने शाळा ते घर हे अंतर किती मीटर असेल ह्याचा अंदाज काढा.

विचार करून अंदाज करा!

रोजच्या आयुष्यात खाली दिलेल्या कोणत्या गोष्टी तुम्ही पाहता याचा अंदाज घ्या व त्यांची नावे दिलेल्या जागेत नोंदवा.

एक मीटर लांबीच्या गोष्टी: _______________________________
एक सेंमी लांब असलेल्या गोष्टी: _______________________________
एक मिमी लांबीच्या गोष्टी: _____________________ (38)

नवीन शब्द

मोजपट्टी       लघुतमांक          एकक