सुन्दरम की छलनी के तीन चरण .....

चरण - 1

पहली पंक्ति 4 से शुरु होती है तथा किसी भी पंक्ति की पहली संख्या पिछली पंक्ति से 3 अधिक है। इसका मतलब है कि किसी पंक्ति m की पहली संख्या होगी:
4 + 3(m-1) = 4 + 3m - 3
= 3m + 1
पहली पंक्ति की लगातार दो संख्याओं का अन्तर 3 है और किसी अन्य पंक्ति की लगातार दो संख्याओं का अन्तर, उसके पहले वाली पंक्ति की लगातार दो संख्याओं के अन्तर से 2 ज़्यादा है। इसका मतलब किसी पंक्ति m की लगातार दो संख्याओं का अन्तर होगा-
3 + 2(m-1) = 2m + 1
अत: किसी पंक्ति m की nवीं संख्या उस पंक्ति की दो लगातार संख्याओं के अन्तर का n-1) गुना होगी। इसका मतलब m पंक्ति में nवीं संख्या होगी
3m +1+(n-1) (2m+1) = (2n+1)m + n

चरण - 2

चूँकि N इस जमावट की कोई संख्या है इसलिए किन्हीं m और n के लिए हम लिख सकते हैं:
N= (2n+1) m+ n
हम इसका उपयोग 2N+1 को m व n के रूप में व्यक्त करने के लिए कर सकते हैं।
2N + 1= 2[(2n+1)m + n] +1
= 2(2n+1)m + 2n + 1
= (2n+1) (2m+1)
चूँकि दोनों (2n+1) तथा (2m+1) एक से बड़ी पूर्णांक संख्याएँ हैं। उपरोक्त समीकरण से पता चलता है कि (2N+1) के दो गुणनखण्ड हैं और दोनों एक से बड़े हैं। अत: यह अभाज्य संख्या नहीं हो सकती है। अत: यह सिद्ध हुआ कि (2N+1) इस जमावट में है और यह अभाज्य संख्या नहीं है।

चरण - 3

पहले हम इस कथन को घुमा देते हैं जिसे हमने चरण-2 में सिद्ध किया। “यदि N इस जमावट में नहीं है तो 2N+1 एक अभाज्य संख्या होगी।” अब इस कथन को लिख सकते हैं, “यदि 2N+1 अभाज्य संख्या नहीं है तो N इस जमावट में ज़रूर होगा।”
हम इस दूसरे कथन को सिद्ध करेंगे।
माना 2N+1 अभाज्य संख्या नहीं है इसलिए इसके कोई दो गुणनखण्ड a और b पूर्णांक होंगे। दोनों एक से बड़े हैं तथा 2N+1 से छोटे होंगे। चूंकि 2N+1 एक विषम संख्या है, इसलिए a और b विषम संख्या होगी। अत: किन्हीं पूर्णांक संख्याओं p और q के लिए, जो 1 के बराबर या उससे बड़ी है, हम लिख सकते हैं:
a = 2p+1 और b = 2q+1
अत:
2N+1 = ab = (2p+1) (2q+1)
= 2p(2q+1)+2q+1
= 4pq+2p+2q+1
2N = 4pq+2p+2q
N = 2pq+p+q
N = p(2q+1)+q
परन्तु यह तो p पंक्ति की q वीं संख्या है, इसका मतलब N इस जमावट में है। इस तरह यह कथन सिद्ध होता है।